Função
do 2º grau
A função
do 2º grau, também denominada
função quadrática,
é definida pela expressão
do tipo:
y =
f(x) = ax² + bx + c, onde
a, b e c são constantes
reais e |
Exemplos:
a) y=x²+3x+2
( a=1; b=3; c=2 )
b) y=x²
( a=1; b=0; c=0 )
c) y=x²-4
( a=1; b=0; c=-4 )
Gráfico
de uma função do 2º grau:
O gráfico
de uma função
quadrática é uma
parábola |
Podemos visualizar uma parábola
em um parque de diversões, simplesmente
olhando para a montanha russa.
Sua
representação gráfica
é dada em torno de eixos:
|
Representação
gráfica |
Exemplo:
Construa
o gráfico da função
y=x²:
[Sol] Como
na função do 1º grau,
basta atribuir valores reais para x, obtemos
seus valores correspondentes para y.
x |
y
= f(x) = x² |
-2 |
4 |
-1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
2 |
4 |
3 |
9 |
|
|
Notem
que os pontos: A e A`, B e B`, C e C`
são simétricos (estão a mesma distância
do eixo de simetria). O ponto V representa
o vértice da parábola, é a partir dele
que determinamos todos os outros pontos.
Coordenadas
do vértice
A
coordenada x do vértice da parábola
pode ser determinada por .
Exemplo:
Determine as coordenada do vértice da
parábola y=x²-4x+3
Temos:
a=1, b=-4 e c=3
Logo,
a coordenada x será igual a 2, mas e
a coordenada y?
Simples:
Vamos substituir o valor obtido da coordenada
x e determinar o valor da coordenada
y.
Assim,
para determinarmos a coordenada y da
parábola y=x²-4x+3, devemos substituir
o valor de x por 2.
y
= (2)²-4.(2)+3 = 4-8+3=-1
Logo,
as coordenadas do vértice serão V=(2,-1)
Portanto,
para determinarmos as coordenadas do
vértice de uma parábola, achamos o valor
da coordenada x (através de x=-b/2a)
e substituindo este valor na função,
achamos a coordenada y!!!
Raízes
(ou zeros) da função do 2º grau
Denominam-se
raízes da função do 2º grau os valores
de x para os quais ela se anula.
y=f(x)=0
Exemplo:
na função y=x²-4x+3, que acima acabamos
de determinar as coordenadas de seus
vértices, as raízes da função serão
x=1 e x`=3.
Vejamos
o gráfico:
Notem
que quando x=1 e x`=3, a parábola intercepta
("corta") o eixo x.
Como
determinar a raiz ou zero da função
do 2º grau?
Simplesmente
aplicando a resolução de equações do
2º grau, já vista na seção anterior.
Exemplo:
determine a raiz da função y=x²+5x+6:
Fazendo
y=f(x)=0, temos x²+5x+6=0
Agora
basta resolver a equação aplicando a
fórmula de Bháskara.
x²+5x+6=0
Acharemos
que x = -2 e x` = -3.
Concavidade
da parábola
Explicarei
esta parte com um simples desenho.
|
|
a>0
|
a<0
|
Os
desenhos até que ficaram bonitinhos,
mas isso não importa neste momento.
O que nos importa agora é que quando
a>0, a concavidade da parábola está
voltada para cima (carinha feliz) e
quando a<0, a parábola está voltada
para baixo (carinha triste).
Exemplos:
y
= f(x) = x² - 4
|
|
a
= 1 >0
|
y
= f(x) = -x² + 4
|
|
a
= -1 < 0
|
[Nota]
Quando a concavidade está voltada para
cima (a>0), o vértice representa
o valor mínimo da função. Quando a concavidade
está voltada para baixo (a<0), o
vértice representa o valor máximo.
Quando
o discriminante é igual a zero
Quando
o valor de , o vértice a parábola encontra-se no eixo x. A coordenada y será igual a
zero.
Exemplo:
y=f(x)=x²+2x+1
x²+2x+1=0
x=x`=-b/2a=-1
As
coordenadas do vértice serão V=(-1,0)
Gráfico:
Quando
o discrimintante é maior que zero
Quando
o valor de , a parábola intercepta o eixo x em dois pontos. (São as raízes ou zeros
da função vistos anteriormente).
Exemplo:
y = f(x) = x²-4x+3
x²-4x+3=0 x=1, x`=3
Gráfico:
Quando
o discriminante é menor que zero
Quando
o valor de , a parábola não intercepta o eixo x. Não há raízes ou zeros da função.
Exemplo:
y = f(x) = x²-x+2
x²-x+2=0
Gráfico:
Resumindo:
Esboçando
o gráfico
Para
finalizarmos (ufa!), vamos desenhar
o gráfico da função y=-x²-4x-3
1ª
etapa: Raízes ou zeros da função
-x²-4x-3=0 Aplicando
a fórmula de Bháskara x=-1, x`=-3
2ª
etapa: Coordenadas do vértice
Coordenada
x (=-b/2a): -(-4)/2.(-1)=-2
Coordenada
y: Basta substituir o valor de x obtido
na função y = -x²-4x-3 = -(-2)²-4.(-2)-3
= -4+8-3 = 1
Portanto,
V=(-2,1)
3ª
etapa: Concavidade da parábola
y=-x²-4x-3
Como
a=-1<0, a concavidade estará
voltada para baixo
Feito
isso, vamos esboçar o gráfico:
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